Математика

Напечатать текст страницы

Программа вступительных испытаний по математике

Направления подготовки «Прикладная математика и информатика» и «Экономика»

 

Литература, примеры заданий

 

Настоящая программа состоит из трех разделов.

 

В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном, так и на устном экзамене.

Второй раздел представляет собой перечень вопросов теоретической части устного экзамена. При подготовке к письменному экзамену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений этого раздела.

В третьем разделе указано, какие навыки и умения требуются от поступающего на письменном и устном экзаменах.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса, включая и начала анализа. Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе. Объекты и факты, не изучаемые в общеобразовательной школе, также могут использоваться поступающими, но при условии, что он способен их пояснять и доказывать.

В связи с обилием учебников и регулярным их переизданием отдельные утверждения второго раздела могут в некоторых учебниках называться иначе, чем в программе, или формулироваться в виде задач, или вовсе отсутствовать. Такие случаи не освобождают поступающего от необходимости знать эти утверждения.

 

I. Основные понятия

 

  1. Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
  2. Целые, рациональные и действительные числа. Проценты. Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
  3. Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.
  4. Функция, ее область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значения функции. График функции.
  5. Линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции.
  6. Уравнение, неравенства, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность.
  7. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
  8. Прямая на плоскости. Луч, отрезок, ломаная, угол.
  9. Треугольник. Медиана, биссектриса, высота.
  10. Выпуклый многоугольник. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция. Правильный многоугольник. Диагональ.
  11. Окружность и круг. Радиус, хорда, диаметр, касательная, секущая. Дуга окружности и круговой сектор. Центральный и вписанные углы.
  12. Прямая и плоскость в пространстве. Двугранный угол.
  13. Многогранник. Куб, параллелепипед, призма, пирамида.
  14. Цилиндр, конус, шар, сфера.
  15. Равенство и подобие фигур. Симметрия.
  16. Параллельность и перпендикулярность прямых, плоскостей. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
  17. Касание. Вписанные и описанные фигуры на плоскости и в пространстве. Сечение фигуры плоскостью.
  18. Величина угла. Длина отрезка, окружности и дуги окружности. Площадь многоугольника, круга и кругового сектора. Площадь поверхности и объем многогранника, цилиндра, конуса, шара.
  19. Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Векторы.

II. Содержание теоретической части устного экзамена

Алгебра

  1. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
  2. Свойства числовых неравенств.
  3. Формулы сокращенного умножения.
  4. Свойства линейной функции и ее график.
  5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители. Теорема Виета.
  6. Свойства квадратичной функции и ее график.
  7. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.
  8. Формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.
  9. Формулы общего члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.
  10. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями.
  11. Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.
  12. Свойства показательной функции и ее график.
  13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.
  14. Свойства логарифмической функции и ее график.
  15. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения, сложения, двойного и половинного аргумента, суммы и разности тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму. Преобразование выражения asinx + bcosx с помощью вспомогательного аргумента.
  16. Формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
  17. Свойства тригонометрических функций и их графики.

Геометрия

  1. Теоремы о параллельных прямых на плоскости.
  2. Свойства вертикальных и смежных углов.
  3. Свойства равнобедренного треугольника.
  4. Признаки равенства треугольников.
  5. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Свойства средней линии треугольника.
  6. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников.
  7. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
  8. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы угла.
  9. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении высот треугольника.
  10. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону.
  11. Свойство касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных из одной точки к окружности. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образованном касательной и хордой. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. Равенство произведений отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата касательной произведению секущей на ее внешнюю часть.
  12. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность. Свойство четырехугольника, описанного около окружности.
  13. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
  14. Теоремы синусов и косинусов для треугольника.
  15. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.
  16. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.
  17. Свойства средней линии трапеции.
  18. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Уравнение окружности.
  19. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей.
  20. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах.

III. Требования к поступающему

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

  1. выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями; преобразовывать буквенные выражения; производить операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное произведение); переводить одни единицы измерения величин в другие;
  2. сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора); доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;
  3. решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами) и исследовать их решения;
  4. исследовать функции; строить графики функций и множества точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;
  5. изображать геометрические фигуры на чертеже; делать дополнительные построения; строить сечения; исследовать взаимное расположение фигур; применять признаки равенства, подобия фигур и их принадлежности к тому или иному виду;
  6. пользоваться свойствами чисел, векторов, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессий;
  7. пользоваться свойствами геометрических фигур, их характерных точек, линий и частей, свойствами равенства, подобия и взаимного расположения фигур;
  8. пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади, объемы;
  9. составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи;
  10. излагать и оформлять решение логически правильно, полно и последовательно, с необходимыми пояснениями.

На устном экзамене поступающий должен дополнительно уметь:

  1. давать определения, формулировать и доказывать утверждения (формулы, соотношения, теоремы, признаки, свойства и т.п.), указанные во втором разделе настоящей программы;
  2. анализировать формулировки утверждений и их доказательства;
  3. решать задачи на построение циркулем, линейкой; находить геометрические места точек.

Литература

Задания вступительных испытаний по математике за 2017 год

Задания вступительных испытаний по математике за 2016 год

Задания вступительных испытаний по математике за 2015 год

Задания вступительных испытаний по математике за 2014 год